Particle in 1D box 문제를 양자역학과 Standing wave의 관점에서 보기

Particle in 1D box

partivle in 1D box A는 free particle, B-F는 n에 따른 모드들의 모습이다. (출처 : https://en.wikipedia.org/wiki/Particle_in_a_box)

상자속의 입자 문제는 그리피스의 양자역학 책을 기준으로 제일 먼저 배우게 되는 양자역학 문제이다.

자유 입자가 단지 상자안에 있다는 조건만으로 가질 수 있는 에너지가 "양자화"된다!

(양자화라는 것은 에너지가 연속적인 값을 가질 수 없고 띄엄띄엄 떨어진 값을 가지게 된다는 의미이다.

따라서 상자안의 자유입자는 특정한 에너지만을 가져야한다. 정해진 값의 사잇값과 같은 값은 가질 수가 없다)

양자역학을 이처럼 단편적으로 명료하게 보여주는 예는 없을 것이다.

이 문제를 푸는 매커니즘은 삼성디스플레이에서 밀고있는 QD(Quantum dot) 과 같은 실제소자에서도 이용된다. 

오피셜은 아니지만 물리학적인 관점에서 QD의 원리 : 1D BOX의 관점에서

오피셜은 아니지만 물리학적인 관점에서 QD의 원리를 보면,

1. 어떤 방법을 이용해 전자를 QD에 가둔다.

(이론적으로 말할때는 어떤방법이 매우 쉽겠지만 수없이 많은 시행착오를 거쳐서 만들게 될 것이다)

2. QD의 크기에 따라서 그 속의 전자가 가질 수 있는 에너지가 양자화된다.

(QD는 일종의 1D BOX와 같다. 점이니까! 일차원일 것이다. 뒤에서 풀어보겠지만 1D BOX 에서 전자의 에너지는 상자의 길이에 의해 결정된다. 이를 응용하여 단지 크기만으로 방출되는 빛을 조절할 수 있다)

3. 양자화된 에너지 레벨 사이의 천이과정을 통해 빛이 방출된다

(빛이 방출되게 하려면 direct band가 만들어져야하는데 이런 기술적인 사항은 전부 시행착오를 통해서 얻어진다)

4. 외부에서 광원을 주변 QD가 에너지를 흡수한 다음 자체발광하여 특정 파장의 빛을 방출한다.

출처 : 삼성디스플레이 https://pid.samsungdisplay.com/ko/learning-center/white-papers/guide-to-understanding-quantum-dot-displays

양자역학적인 관점에서 1D BOX 풀이

양자역학에서 입자는 물질파라는 파동으로 생각된다.

따라서 슈레딩거방정식이라는 파동방정식의 해를 가진다. 

이 슈레딩거 파동방정식을 풀면 입자가 가질 수 있는 에너지와 고유값 그리고 고유한 상태를 알 수 있게 된다. 

양자역학적인 관점에서 1D BOX문제 풀이

정상파(Standing wqve) 의 관점에서 1D BOX 풀이 

물질파의 개념을 가져오면, 슈레딩거 방정식 없이도 에너지에 대한 정보를 알 수 있다. 

왜냐하면 상자속에서의 물질파는 제한조건으로 인해 마치 길이가 a인 끝이 묶여있는 줄과 같기 때문이다. 

이런 줄을 팅겨주면 경계조건에 의해 정상파가 만들어지게 된다. 

드부르이의 물질파 개념을 이용해서 같은 문제를 다른 관점으로 풀어보자

물질파 개념과 정상파 개념을 이용해 같은 결과를 도출할 수 있었다

같은 양자화된 에너지를 가지게 된다. 

논리적인 비약일 지도 모르지만,

상자속의 입자를 물질파라고 봤을 때, 상자속의 물질파는 길이가 a인 정상파와 같다.

 

3줄요약

1. 1D BOX 문제는 양자역학적인 개념을 잘 드러내면서 개념을 응용하기에도 좋다 (Quantum dot과 같은 것을 설명가능하다)

2. 양자역학적인 방법으로 1D BOX 문제를 풀었다.

3. 드브루이의 물질파 개념을 이용해 상자속의 입자를 파동이라 가정한 뒤 정상파의 개념을 이용해 양자역학과 같은 결과를 도출했다.