Coupled Oscillation으로 1차원 고체모델을 설명해보자

물리학에서는 스프링을 이용한 모델이 많다.

스프링 모델이 없었다면 현대물리는 시작도 못했을 것이다. (비열문제도 해결 못했을 것이니 아마도..?)

어쩌면 인간이 스프링으로 설명이 되는 비교적 간단한 세상에 살고있는 것일지도 모르겠다.

시작부터 스프링 이야기를 꺼낸 것은 물리학에서 가장 많이 쓰이는 모델중 하나인 1차원 스프링 모델을 간단하게 계산해 볼 것이기 때문이다. 

가장 간단하게 생긴 고체를 생각해보자.

어떤 형태가 이론적으로 고체를 가장 잘 설명할 수 있을까?

동일한 입자들이 동일한 간격으로 규칙적으로 배열되어 있는 고체

바로 금속결합하고 있는 고체이다

아래 사진을 보면 금속결합은 전자의 바다 위에 둥둥 떠있는 금속이온의 배열이라고 할 수 있다.

출처 : https://studyrocket.co.uk/revision/gcse-chemistry-combined-science-aqa/combined-science-bonding-matter/metallic-bonding

 

 

이 금속 결합 모델을 1차원만 보자

한 줄로 쭉 연결된 원자들을 생각해보는 것이다. 

이제 그 각각의 원자들이 스프링에 연결되어 있는 것을 상상해보자.

한 원자가 진동하면 (모든 원자는 진동한다) 그 영향을 받아 전체의 원자가 진동할 것이다. 

이런 모습이 3차원으로 확장되면 아래 그림처럼 스프링에 매달려있는 원자들이 이리저리 진동하는 모습을 상상할 수 있을 것이다. 

이런 진동운동들이 무작위일 것 처럼 보이지만 각각의 진동자들은 normal mode와 normal freqency를 가진다.

즉 어떤 규칙성을 가지고 있다는 것이다. 

단지 양끝을 고정한 스프링에 달아놓았다는 것 만으로도 각각의 진동자는 진동할 수 있는 고유한 진동수를 가지게 된다.
이는 coupled oscillation의 수학적 특성이기도 하면서 실제 물리계에서 이런 특성이 나타난다.
(포논이라는 말 자체가 이런 배열을 이루고 있는 물질들의 떨림을 의미한다)
내 부족한 언어적 능력으로는 오해만 생기고 실제와는 멀어질 수 있으니까 문제를 풀어보자.

간단한 수학적 계산으로 이런 특성을 살펴볼 수 있다.

아래의 예제를 풀어보자 (출처 : Vibraions and Waves - George C. King)

 

 

 각각 질량 m을 지닌 세개의 공이 단단한 벽과 스프링에 매여있다. (그림참조)
이 세개의 공은 좌우로 진동을 하게 된다. (스프링의 당겨짐과 밀어냄으로 인해서)
(a) 전체 시스템의 normal freqency를 보여라
(b) 세개의 normal 진동모드를 보여라

 

 운동방정식에서 마지막 3번 진동자의 운동방정식에서 -kx3인 이유는 파란색 그림으로도 알 수 있지만
압축으로 인해서 스프링이 운동방향과 반대로 밀어내기 때문이다.

3개의 진동자의 운동을 정리하면 신기하게도 고윳값 문제가 되어버린다.

상수들을 한쪽으로 모아 고윳값 λ 으로 놓고 고윳값과 고유벡터들을 구할 수 있다.

 

 

고유벡터들을 구하다보면 값들이 SIN함수의 값처럼 보인다.

이를 확장해보면, 입자들이 같은 진동수를 가지고 진동하는 normal 모드는 길이가 l인 줄의 standing wave의 모드들과 유사한 특성을 지니는 것을 알 수 있다. 

입자의 갯수가 아무리 늘어나도, mode의 갯수만 많아 질 뿐, 각각의 입자들이 가지는 고유벡터의 값이 어떤 규칙성을 가지고 있다는 것을 알 수 있다. 

그래서 특정한 입자가 가질 수 있는 운동은 normal mode 중의 하나만 가질 수 있으며

실제 운동은 그래서 normal mode들의 합으로 일반해가 주어진다.